Aplicaciones de la derivada
Mediante el estudio de funciones y, más concretamente, mediante el uso de la derivada podemos conocer:
- la variación del espacio en función del tiempo
- el crecimiento de una bacteria en función del tiempo
- el desgaste de un neumático en función del tiempo
- el beneficio de una empresa en función del tiempo...
Es por esto que puede tener varias aplicaciones, algunas de ellas en ramas propias de las matemáticas y en disciplinas como la física y economía.
- En economía:
En la Economía es importante considerar la variación de una cantidad respecto a otra. Por ejemplo la demanda de un producto respecto a su precio, o el precio de un producto respecto a su costo de producción o la utilidad obtenida en la venta de un producto, con relación al costo de producción, etc.
Por lo anterior, es muy importante la representación de las cantidades relacionadas en forma de funciones que puedan ser derivables, no obstante que los datos que se manejan sean discretos, por ejemplo cuando se establece la función de costo , la variable x representa unidades de cierta mercancía.
- En recta tangente y recta normal a f en (a,f(a)):
Calcular las ecuaciones de rectas tangentes y rectas normales a una curva en un punto dado (a,f(a)). Para tener éxito, es importante recordar que:
- La derivada f' (a) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en (a,f(a)).
- Por lo tanto la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en (a,f(a)) es:
, y-f(a) = f'(a)(x-a) es decir: y= f'(a)x+(f(a)- af '(a)) (1)
- Dada la ecuación y= mx + b de una recta, entonces la recta cuya ecuación es
y=-1/m x+c, es perpendicular a la primera. Por ejemplo, las rectas: y = 2x+1 y y=-1/2x+2 son perpendiculares entre sí.
- Por lo tanto, la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en (a,f(a)) es:
, y-f(a)=-1/f'(a)*(x-a), es decir; y =-1/f'(a) x+ (ƒ(a)+a1/f '(a) )
- En geometría:
Será de gran utilidad recordar los conceptos de recta tangente y recta normal. La relación de estos conceptos con la derivada es fundamental para entender y resolver los problemas geométricos.
Dada una función f derivable en a, es importante recordar que:
- La derivada f '(a) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en (a, f(a)).
- La recta cuya ecuación es y=mx + b tiene pendiente m(m≠0) y ordenada al origen b.
- La recta cuya ecuación es y=-1/m x+c, tiene pendiente -1/m(m≠0) y es una recta perpendicular a la primera.
- La ecuación de una recta que pasa por (a,b)y tiene pendiente m, es: y-b=m(x-a) o y=m(x-a)+b.
En física:
La Física y sus problemas en relación con el movimiento fueron relevantes en el desarrollo del concepto de la derivada.
Si un móvil recorre una cierta distancia s en una cantidad de tiempo t, se puede conocer la velocidad promedio en que hizo tal recorrido, pero también se podría saber su velocidad en cada instante de dicho recorrido gracias a la derivada. Así mismo en problemas de caída libre o de objetos con movimientos acelerados, la derivada tiene un papel fundamental.
